「HP製作/運営管理」を手掛ける業者はたくさんあります。
そして、その体制は大きな組織の会社から数人の規模、そして個人事業のレベルまで様々です。
一般的に「HP管理は安心できる会社に依頼するのがいい」と言われる事がありますが、私は個人事業者ですから、そのように考えられるお客様には相手にされません。

「個人管理業者のメリット / デメリット」
・メリット
会社組織の管理業者では、営業・製作・管理と分野によって担当者が変わります。そしてその連携が上手く取れていないと、なかなか自分の考えが伝わらない事もあります。
個人事業では基本的には全て担当者が同じ場合が多く、自社管理のような親近感を持って製作・管理が行われます。またコスト面も人件費や運営設備費などがほとんどないため、その分ローコストでの管理が可能です。

・デメリット
管理業者としての個人レベルに大きな差が生じるため、趣味の延長程度からプロフェッショナルまで様々です。
また特殊システムや多種多様な対応は難しいように思います。そしてデザイナーから独立された方には、営業面や経理面での不手際があるかもしれません。サポート体制も不十分にならないか、前もって確認しておく事が賢明です。

両者に言える事ですが、個人事業はその人が事故や病気になれば業務はストップしますし、会社も運営が厳しくなったり担当者が変わったりで不手際もあるでしょう。
「自社にあった規模」とよく私は言いますが、どちらもメリット・デメリットがあります。もし何かあった場合に別会社でも継続できるような保険を持っておくといいでしょう。
当事業所ではドメイン管理に必要な「Authcode」などは、ご希望によってはお客様にお渡ししておきます。このように、一番重要なドメイン管理に対しての措置を前もって確認しておくといいでしょう。
またホームページの内容に関しては、管理業者が変われば内容も変わってきますので、仮に管理業者を変更する際にも、そこまで重要視する必要も無いと考えます。